数学竞赛：《线性代数与空间解析几何》课程教学、学习基本要求

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《工科类本科数学基础课程教学基本要求》

线性代数与空间解析几何部分

在《全国大学生数学竞赛通知》中明确竞赛“考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容！”

空间解析几何部分（即几何向量和空间曲线与曲面两章）在不同学校包含于《线性代数》或者《高等数学》课程中。

1. 行列式

(1) 了解行列式的定义。

(2) 掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开的方法。

(3) 会计算简单的阶行列式。

2. 矩　阵

(1) 理解矩阵的概念。

(2) 了解单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性质。

(3) 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则。

(4) 理解逆矩阵的概念。掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质。

(5) 掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。

(6) 了解矩阵等价的概念。

(7) 理解矩阵秩的概念并掌握其求法。

3. 几何向量

(1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

(2) 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。

(3) 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

(4) 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

4. n维向量与向量空间

(1) 理解维向量的概念。

(2) 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念。

(3) 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

(4) 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

(5) 了解n维向量空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念。

^*(6) 了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵。

(7) 了解内积的概念，会用施密特（Schmidt）方法将线性无关的向量组标准正交化。

(8) 了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质。

(9) 了解线性变换的概念及其矩阵表示。

5. 线性方程组

(1) 了解克拉默（Cramer）法则。

(2) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。

(3) 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念。

(4) 理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念。

(5) 掌握用行初等变换求线性方程的组通解的方法。

6. 矩阵的特征值与特征向量

(1) 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量。

(2) 了解相似矩阵的概念和性质。

(3) 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法。

(4) 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。

7. 实二次型

(1) 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念。

(2) 了解合同变换和合同矩阵的概念。

(3) 了解实二次型的标准形式及其求法。

(4) 了解惯性定理（对定理的证明不作要求）和实二次型的规范形。

(5) 了解正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法。

8. 空间曲线与曲面

(1) 理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。

(2) 了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

(3) 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

(4) 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

^*(5) 了解二次曲面的分类。

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